Sek1-Mathe begreifbar · Leitprogramm

Bruchterme, Gleichungen und Formeln

Zuschauen, tüfteln, kontrollieren, üben. Vier Kapitel zu je einer Lektion, dazu Vorwissen und Gesamttest.

Gleichungen

So arbeitest du
  1. ① Clip anschauen. Er hält einmal an und fragt nach deiner Vorhersage.
  2. ② Tüfteln: Löse die Aufgaben in der orangen Leiste über dem Bild. Sie zeigt ✓, sobald es stimmt. Überspringen geht immer.
  3. ③ Kontrollfragen: Der Clip hält an. Erst antworten. Danach Festhalten: Regel und häufigen Fehler ins Heft.
  4. ④ Üben mit Rückmeldung, bis drei in Folge sitzen. Mit 💡 Tipp bekommst du Hilfe in drei Stufen. Brüche tippst du mit / und Klammern: (x-3)/(x+3), 3/(2x); Lösungsmengen als Zahl, {} (keine Lösung) oder Q (alle Zahlen).
  5. ⑤ Aufgaben auf Papier mit Rechenweg, dann Lösung aufklappen und abhaken.
  6. Zum Schluss der Gesamttest auf Papier. Alles ohne Taschenrechner.

Kompetenzen

Das kannst du danach, alles ohne Taschenrechner:

  • K1 Bruchterme kürzen, indem du zuerst in Faktoren zerlegst, und angeben, welche Zahlen nicht erlaubt sind (Kapitel 1)
  • K2 Bruchterme multiplizieren, dividieren, addieren und subtrahieren, mit dem Hauptnenner (Kapitel 2)
  • K3 lineare Gleichungen mit Klammern und Brüchen lösen, die Lösungsmenge angeben und die Probe machen (Kapitel 3)
  • K4 Formeln nach einer Grösse umstellen und damit Werte berechnen (Kapitel 4)

Nicht in diesem Leitprogramm: quadratische Gleichungen, Ungleichungen, Gleichungen mit Parametern. Zum Vertiefen bei Mathe begreifbar: Lineare Gleichungen ↗ · Drei Lösungsfälle ↗.

Kapitel 0Vorwissen≈ 10 min

Vorwissen

Faktorisieren, Zahlenbrüche kürzen, Gleichungen mit einem Schritt, Einsetzen. Zuerst kurz wiederholen, dann der Vortest.

Kurz wiederholt
  • Faktorisieren: gemeinsamen Faktor ausklammern, \(6x + 9 = 3(2x + 3)\); binomische Formeln rückwärts, \(x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)\); Zweiklammersatz, \(x^2 + 2x - 15 = (x + 5)(x - 3)\): zwei Zahlen mit Produkt \(-15\) und Summe \(2\).
  • Brüche kürzen: Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen, \(\dfrac{10}{15} = \dfrac{2}{3}\).
  • Gleichung umformen: auf beiden Seiten dasselbe tun. \(x + 4 = 9\) gibt mit \(-4\): \(x = 5\).
  • Einsetzen: Für \(a = 2\) ist \(3a - 1 = 5\).

Vortest · 10 P

  1. 0a(2 P)Faktorisiere: \(4x - 12\) und \(x^2 - x - 12\)
    Lösung

    \(4(x - 3)\) und \((x - 4)(x + 3)\), denn \(-4 \cdot 3 = -12\) und \(-4 + 3 = -1\).

    Faktorisieren braucht Kapitel 1 und 2.

  2. 0b(2 P)Kürze: \(\dfrac{18}{24}\) und \(\dfrac{3 \cdot 5}{5 \cdot 7}\)
    Lösung

    \(\dfrac{3}{4}\) und \(\dfrac{3}{7}\).

  3. 0c(2 P)Für welche Zahl \(x\) wird der Nenner von \(\dfrac{5}{x - 4}\) gleich \(0\)?
    Lösung

    Für \(x = 4\).

  4. 0d(2 P)Löse: \(3x + 5 = 20\)
    Lösung

    \(3x = 15\), \(x = 5\).

  5. 0e(2 P)Setze \(a = 3\) und \(b = -4\) ein: \(2a - b\)
    Lösung

    \(6 - (-4) = 10\).

    Einsetzen ist die Probe in Kapitel 3 und 4.

Weniger als 7 von 10 Punkten: «Kurz wiederholt» nochmals lesen, die Lösungen des Vortests nachrechnen; fürs Faktorisieren hilft das Leitprogramm «Terme und Faktorisieren».

Kapitel 1K1≈ 40 min

Bruchterme kürzen

Du kürzt Bruchterme, indem du Zähler und Nenner zuerst in Faktoren zerlegst, und gibst an, welche Zahlen die Variable nicht annehmen darf.

① Clip

② Tüfteln

③ Kontrollfragen

Festhalten

Bruchterme kürzen

Ein Bruchterm hat eine Variable im Nenner. Der Nenner darf nie \(0\) werden: Bei \(\dfrac{5}{x - 3}\) ist \(x = 3\) nicht erlaubt.

Kürzen heisst wie bei Zahlenbrüchen: Zähler und Nenner durch denselben Faktor teilen. Darum zuerst Zähler und Nenner in Faktoren zerlegen (ausklammern, binomische Formel, Zweiklammersatz), dann gleiche Faktoren streichen.

  1. \(\dfrac{x^2 - 9}{2x + 6} = \dfrac{(x - 3)(x + 3)}{2(x + 3)}\) Zähler: binomische Formel; Nenner: \(2\) ausklammern
  2. \(= \dfrac{x - 3}{2}\) \((x + 3)\) gestrichen; \(x \neq -3\)

Weitere Beispiele: \(\dfrac{6x}{9x^2} = \dfrac{3x \cdot 2}{3x \cdot 3x} = \dfrac{2}{3x}\) für \(x \neq 0\), und \(\dfrac{x^2 + 4x + 4}{x^2 - 4} = \dfrac{(x + 2)^2}{(x + 2)(x - 2)} = \dfrac{x + 2}{x - 2}\) für \(x \neq 2\) und \(x \neq -2\). Die Bedingungen kommen aus dem ursprünglichen Nenner: \(x = -2\) bleibt verboten, auch wenn der Faktor \(x + 2\) gestrichen ist.

Gegenzahlen: \(3 - x = -(x - 3)\). Darum ist \(\dfrac{x - 3}{3 - x} = -1\) für \(x \neq 3\).

Ist das ein Faktor? Steht unten \(x + 1\), dann müsste der Zähler für \(x = -1\) null sein. Bei \(\dfrac{x^2 + 1}{x + 1}\) gibt der Zähler für \(x = -1\) aber \(2\): Der Bruch lässt sich nicht kürzen.

Häufiger Fehler

Summanden kürzen: \(\dfrac{x + 3}{x + 5}\) ist nicht \(\dfrac{3}{5}\). Probe mit \(x = 1\): \(\dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}\), aber \(\dfrac{3}{5}\) ist kleiner. Das \(x\) ist hier ein Summand, kein Faktor. Der Bruch lässt sich nicht kürzen.

Nicht zuerst zerlegt: Bei \(\dfrac{x^2 - 9}{2x + 6}\) sieht man den gemeinsamen Faktor erst nach dem Faktorisieren.

④ Üben mit Rückmeldung

🔁 Kürzen0 in Folge

🔁 Nicht erlaubte Zahlen0 in Folge

⑤ Aufgaben mit Lösungen

Aufgaben · Kapitel 1 · 14 P

  1. 1a(2 P)Kürze: \(\dfrac{12a^2}{18a}\)
    Lösung

    \(\dfrac{6a \cdot 2a}{6a \cdot 3} = \dfrac{2a}{3}\), für \(a \neq 0\).

  2. 1b(3 P)Kürze: \(\dfrac{5x - 10}{x - 2}\) und \(\dfrac{x^2 - 16}{x + 4}\)
    Lösung

    \(\dfrac{5(x - 2)}{x - 2} = 5\) (\(x \neq 2\)). \(\dfrac{(x - 4)(x + 4)}{x + 4} = x - 4\) (\(x \neq -4\)).

  3. 1c(3 P)Kürze: \(\dfrac{x^2 - 6x + 9}{x^2 - 9}\)
    Lösung

    \(\dfrac{(x - 3)^2}{(x - 3)(x + 3)} = \dfrac{x - 3}{x + 3}\), für \(x \neq 3\) und \(x \neq -3\).

  4. 1d(2 P)Nina kürzt: \(\dfrac{x + 6}{x + 2} = \dfrac{6}{2} = 3\). Zeige mit \(x = 1\), dass das nicht stimmt. Was ist falsch?
    Lösung

    Mit \(x = 1\): \(\dfrac{7}{3}\), nicht \(3\). Nina hat Summanden gekürzt. Zähler und Nenner haben keinen gemeinsamen Faktor; der Bruch lässt sich nicht kürzen.

  5. 1e(2 P)Für welche Zahlen ist \(\dfrac{x + 1}{x^2 - 4x}\) nicht definiert?
    Lösung

    \(x^2 - 4x = x(x - 4)\) ist \(0\) für \(x = 0\) und für \(x = 4\). Diese beiden Zahlen sind nicht erlaubt.

  6. 1f(2 P)Warum ist \(\dfrac{2 - x}{x - 2} = -1\) für \(x \neq 2\)? Erkläre und prüfe mit \(x = 5\).
    Lösung

    \(2 - x = -(x - 2)\): Zähler und Nenner sind Gegenzahlen, ihr Quotient ist \(-1\). Mit \(x = 5\): \(\dfrac{-3}{3} = -1\).

Vertiefung bei Mathe begreifbar (Berufsmaturität): Bruchterme ↗

Kapitel 2K2≈ 45 min

Rechnen mit Bruchtermen

Du multiplizierst und dividierst Bruchterme, addierst und subtrahierst sie mit dem Hauptnenner und gibst das Ergebnis gekürzt auf einem Bruchstrich an.

① Clip

② Tüfteln

③ Kontrollfragen

Festhalten

Rechnen mit Bruchtermen

Es gelten dieselben Regeln wie bei Zahlenbrüchen.

Multiplizieren: Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner, vorher kürzen: \(\dfrac{3x}{4} \cdot \dfrac{8}{9x^2} = \dfrac{3x \cdot 8}{4 \cdot 9x^2} = \dfrac{2}{3x}\).

Dividieren: mit dem Kehrwert multiplizieren: \(\dfrac{5}{x} : \dfrac{10}{x^2} = \dfrac{5}{x} \cdot \dfrac{x^2}{10} = \dfrac{x}{2}\).

Addieren und Subtrahieren: zuerst gleichnamig machen. Der Hauptnenner enthält jeden Faktor der Nenner so oft, wie er höchstens vorkommt.

  1. \(\dfrac{5}{x} + \dfrac{2}{x} = \dfrac{7}{x}\) gleiche Nenner: Zähler addieren
  2. \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{2x} = \dfrac{2}{2x} + \dfrac{1}{2x} = \dfrac{3}{2x}\) Hauptnenner \(2x\)
  3. \(\dfrac{2}{x} - \dfrac{1}{x + 1} = \dfrac{2(x + 1) - x}{x(x + 1)} = \dfrac{x + 2}{x(x + 1)}\) Hauptnenner \(x(x + 1)\), Zähler in Klammern
Häufiger Fehler

Nenner addieren: \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{2}\) ist nicht \(\dfrac{2}{x + 2}\). Probe mit \(x = 2\): links \(1\), rechts \(\dfrac{1}{2}\). Richtig: \(\dfrac{2 + x}{2x}\).

Minus vor dem Bruchstrich: Der ganze Zähler wird abgezogen. \(1 - \dfrac{x - 1}{x} = \dfrac{x - (x - 1)}{x} = \dfrac{1}{x}\), nicht \(\dfrac{x - x - 1}{x}\).

④ Üben mit Rückmeldung

🔁 Mal und durch0 in Folge

🔁 Plus und minus0 in Folge

⑤ Aufgaben mit Lösungen

Aufgaben · Kapitel 2 · 14 P

  1. 2a(3 P)Multipliziere und kürze: \(\dfrac{2x}{3} \cdot \dfrac{9}{4x^2}\). Dividiere: \(\dfrac{6}{x} : \dfrac{3}{x^2}\)
    Lösung

    \(\dfrac{2x \cdot 9}{3 \cdot 4x^2} = \dfrac{18x}{12x^2} = \dfrac{3}{2x}\). Mit dem Kehrwert: \(\dfrac{6}{x} \cdot \dfrac{x^2}{3} = \dfrac{6x^2}{3x} = 2x\) (\(x \neq 0\)).

  2. 2b(2 P)Multipliziere und kürze: \(\dfrac{x^2 - 1}{x} \cdot \dfrac{3x}{x + 1}\)
    Lösung

    \(\dfrac{(x - 1)(x + 1) \cdot 3x}{x \cdot (x + 1)} = 3(x - 1)\), für \(x \neq 0\) und \(x \neq -1\).

  3. 2c(2 P)Addiere: \(\dfrac{3}{2a} + \dfrac{5}{6a}\)
    Lösung

    Hauptnenner \(6a\): \(\dfrac{9}{6a} + \dfrac{5}{6a} = \dfrac{14}{6a} = \dfrac{7}{3a}\).

  4. 2d(3 P)Subtrahiere: \(\dfrac{4}{x} - \dfrac{3}{x + 2}\)
    Lösung

    Hauptnenner \(x(x + 2)\): \(\dfrac{4(x + 2) - 3x}{x(x + 2)} = \dfrac{x + 8}{x(x + 2)}\).

  5. 2e(2 P)Tim rechnet \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{x + 3}\). Prüfe mit \(x = 3\) und rechne richtig.
    Lösung

    Mit \(x = 3\): links \(\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}\), Tims Ergebnis \(\dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\). Tim hat die Nenner addiert. Richtig: \(\dfrac{3}{3x} + \dfrac{x}{3x} = \dfrac{3 + x}{3x}\).

  6. 2f(2 P)Warum braucht es beim Multiplizieren keinen gemeinsamen Nenner, beim Addieren aber schon?
    Lösung

    Beim Multiplizieren nimmt man einen Teil von einem Teil: Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner, das geht immer. Addieren kann man nur gleich grosse Teile; gleich gross sind sie erst mit demselben Nenner.

Vertiefung bei Mathe begreifbar (Berufsmaturität): Bruchterme ↗

Kapitel 3K3≈ 45 min

Lineare Gleichungen lösen

Du löst lineare Gleichungen mit der Variablen auf beiden Seiten, mit Klammern und mit Brüchen, gibst die Lösungsmenge an und prüfst durch Einsetzen.

① Clip

② Tüfteln

③ Kontrollfragen

Festhalten

Lineare Gleichungen lösen

Eine Gleichung ist wie eine Waage im Gleichgewicht. Sie bleibt im Gleichgewicht, wenn du auf beiden Seiten dasselbe tust: dieselbe Zahl oder dasselbe Vielfache von \(x\) addieren oder subtrahieren, mit derselben Zahl (nicht 0) multiplizieren oder durch sie dividieren.

  1. \(5x - 7 = 2x + 8\) \(-2x\) auf beiden Seiten
  2. \(3x - 7 = 8\) \(+7\)
  3. \(3x = 15\) \(: 3\)
  4. \(x = 5\), also \(L = \{5\}\) Probe: \(5 \cdot 5 - 7 = 18\) und \(2 \cdot 5 + 8 = 18\)

Klammern zuerst auflösen, jede Seite zusammenfassen. Brüche wegschaffen: beide Seiten mit dem Hauptnenner multiplizieren, jeder Zähler in Klammern:

\[ \frac{x + 1}{3} - \frac{x - 2}{4} = 1 \quad | \cdot 12 \qquad 4(x + 1) - 3(x - 2) = 12 \qquad x + 10 = 12 \qquad x = 2 \]

Drei Ausgänge: genau eine Lösung; keine Lösung, wenn eine falsche Aussage übrig bleibt (\(2(x + 1) = 2x + 5\) gibt \(2 = 5\), \(L = \{\,\}\)); alle Zahlen, wenn eine wahre Aussage übrig bleibt (\(3(x - 2) - (x + 4) = 2x - 10\) gibt \(-10 = -10\), \(L = \mathbb{Q}\)).

Häufiger Fehler

Nur eine Seite umgeformt: Wer bei \(5x - 7 = 2x + 8\) nur links \(+7\) rechnet, zerstört das Gleichgewicht.

Minus vor dem Bruch: \(-\dfrac{x - 2}{4} \cdot 12 = -3(x - 2) = -3x + 6\), nicht \(-3x - 6\).

Ohne Probe: Setz die Lösung in die ursprüngliche Gleichung ein. Beide Seiten müssen gleich sein.

④ Üben mit Rückmeldung

🔁 Gleichungen0 in Folge

🔁 Gleichungen mit Brüchen0 in Folge

⑤ Aufgaben mit Lösungen

Aufgaben · Kapitel 3 · 14 P

  1. 3a(2 P)Löse und mach die Probe: \(8x - 5 = 3x + 20\)
    Lösung

    \(5x = 25\), \(x = 5\), \(L = \{5\}\). Probe: \(40 - 5 = 35\) und \(15 + 20 = 35\).

  2. 3b(2 P)Löse: \(4(x - 3) = 2(x + 1)\)
    Lösung

    \(4x - 12 = 2x + 2\), \(2x = 14\), \(x = 7\), \(L = \{7\}\).

  3. 3c(2 P)Löse: \(\dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{3} = 10\)
    Lösung

    Mal \(6\): \(3x + 2x = 60\), \(5x = 60\), \(x = 12\), \(L = \{12\}\).

  4. 3d(3 P)Löse: \(\dfrac{2x - 1}{5} = \dfrac{x + 4}{3}\)
    Lösung

    Mal \(15\): \(3(2x - 1) = 5(x + 4)\), \(6x - 3 = 5x + 20\), \(x = 23\), \(L = \{23\}\). Probe: \(\dfrac{45}{5} = 9\) und \(\dfrac{27}{3} = 9\).

  5. 3e(3 P)Lea löst \(5 - (x + 2) = 2x\) so: \(5 - x + 2 = 2x\), also \(7 = 3x\). Finde den Fehler und löse richtig.
    Lösung

    Das Minus vor der Klammer gilt für beide Glieder: \(5 - x - 2 = 2x\), also \(3 = 3x\), \(x = 1\), \(L = \{1\}\). Probe: \(5 - 3 = 2\) und \(2 \cdot 1 = 2\).

  6. 3f(2 P)Gib die Lösungsmengen an und begründe: \(2(x + 3) = 2x + 6\) und \(2(x + 3) = 2x + 3\)
    Lösung

    Links steht beide Male \(2x + 6\). Die erste Gleichung wird zu \(6 = 6\), wahr für jedes \(x\): \(L = \mathbb{Q}\). Die zweite wird zu \(6 = 3\), nie wahr: \(L = \{\,\}\).

Vertiefung bei Mathe begreifbar (Berufsmaturität): Lineare Gleichungen ↗ · Drei Lösungsfälle ↗

Kapitel 4K4≈ 40 min

Formeln umstellen

Du stellst Formeln nach einer gesuchten Grösse um, rechnest dabei rückwärts in der richtigen Reihenfolge und setzt erst danach Zahlen ein.

① Clip

② Tüfteln

③ Kontrollfragen

Festhalten

Formeln umstellen

Eine Formel ist eine Gleichung mit mehreren Grössen. Umstellen heisst: sie nach der gesuchten Grösse auflösen, mit denselben Umformungen wie bei Gleichungen. Was mit der gesuchten Grösse zuletzt gerechnet wird, machst du zuerst rückgängig.

\[ v = \frac{s}{t} \quad | \cdot t \qquad s = v \cdot t \quad | : v \qquad t = \frac{s}{v} \]

  1. \(F = 1.8 \cdot C + 32\) zuletzt wird \(+32\) gerechnet
  2. \(F - 32 = 1.8 \cdot C\) \(-32\) auf beiden Seiten
  3. \(C = \dfrac{F - 32}{1.8}\) \(: 1.8\); Probe: \(F = 212\) gibt \(C = 100\)

Trapez: \(A = \dfrac{a + c}{2} \cdot h\) gibt \(h = \dfrac{2A}{a + c}\). Geteilt wird durch die ganze Summe \(a + c\); auf einer Zeile geschrieben braucht sie Klammern: \(h = 2A : (a + c)\).

Einsetzen erst nach dem Umstellen, mit passenden Einheiten: \(s\) in km und \(v\) in km/h gibt \(t\) in h.

Häufiger Fehler

Nur durch einen Teil geteilt: \(h = \dfrac{2A}{a} + c\) ist falsch, richtig ist \(h = \dfrac{2A}{a + c}\).

Umkehrung verwechselt: Aus \(s = v \cdot t\) folgt \(t = \dfrac{s}{v}\), nicht \(t = \dfrac{v}{s}\). Probe mit Zahlen: \(s = 120\), \(v = 60\) gibt \(t = 2\).

④ Üben mit Rückmeldung

🔁 Umstellen0 in Folge

🔁 Umstellen und berechnen0 in Folge

⑤ Aufgaben mit Lösungen

Aufgaben · Kapitel 4 · 15 P

  1. 4a(2 P)Stelle \(P = U \cdot I\) nach \(I\) um.
    Lösung

    \(I = \dfrac{P}{U}\).

  2. 4b(2 P)Dreieck: Stelle \(A = \dfrac{g \cdot h}{2}\) nach \(h\) um.
    Lösung

    Mal \(2\): \(2A = g \cdot h\); durch \(g\): \(h = \dfrac{2A}{g}\).

  3. 4c(3 P)Taxi: \(P = 6 + 2.5 \cdot s\) (\(P\) in Fr., \(s\) in km). Stelle nach \(s\) um. Wie weit kommt man für \(31\) Fr.?
    Lösung

    \(P - 6 = 2.5 \cdot s\), also \(s = \dfrac{P - 6}{2.5}\). Mit \(P = 31\): \(s = \dfrac{25}{2.5} = 10\) km.

  4. 4d(3 P)Rechteck: \(u = 2(l + b)\). Stelle nach \(b\) um und berechne \(b\) für \(u = 24\) cm und \(l = 7\) cm.
    Lösung

    Durch \(2\): \(\dfrac{u}{2} = l + b\), dann \(-l\): \(b = \dfrac{u}{2} - l\). Mit Zahlen: \(b = 12 - 7 = 5\) cm.

  5. 4e(3 P)Max stellt \(V = a \cdot b \cdot h\) nach \(h\) um und schreibt \(h = V - a \cdot b\). Prüfe mit \(a = 3\), \(b = 4\), \(h = 5\) und stelle richtig um.
    Lösung

    Mit diesen Zahlen ist \(V = 60\). Max erhält \(60 - 12 = 48\), nicht \(5\). Rückgängig gemacht wird ein «mal», also durch: \(h = \dfrac{V}{a \cdot b}\), Probe \(\dfrac{60}{12} = 5\).

  6. 4f(2 P)Eine Kerze ist \(20\) cm lang und brennt pro Stunde \(0.5\) cm ab: \(L = 20 - 0.5 \cdot t\) (\(L\) in cm, \(t\) in h). Stelle nach \(t\) um. Nach wie vielen Stunden ist sie noch \(12\) cm lang?
    Lösung

    \(L - 20 = -0.5 \cdot t\), also \(t = \dfrac{20 - L}{0.5} = 2(20 - L)\). Mit \(L = 12\): \(t = 16\) h. Probe: \(20 - 0.5 \cdot 16 = 12\).

Vertiefung bei Mathe begreifbar (Berufsmaturität): Äquivalenzumformungen ↗ · Sachverhalte als Gleichung ↗

AbschlussKapitel 1–4≈ 30 min · 25 Punkte

Gesamttest

1
Lösen — auf Papier, mit Rechenweg, ohne Taschenrechner.
⬇ Gesamttest (PDF)
2
Bewerten — selbst mit dem Punkteraster oder mit einer KI: Lösung scannen oder fotografieren (ohne Namen und Standort). Das Paket enthält die Musterlösung: erst danach öffnen.
⬇ Bewertungspaket (PDF)
3
Gezielt wiederholen — nach der Tabelle unten.
Selbsteinschätzung
22 – 25 PDie geprüften Teile sitzen. Wo du Punkte verloren hast: das Kapitel dieser Aufgabe nochmals (Zuordnung unten).
17 – 21 PDen schwächsten Teil nochmals, gemessen am Anteil (Teil A 9, B 8, C 8 P): Tüfteln und Übungen der Kapitel dieses Teils.
11 – 16 PZurück zu den Kapiteln aller Aufgaben, in denen du Punkte verloren hast.
0 – 10 PZurück zu den Kapiteln jedes Teils, in dem du weniger als die Hälfte erreicht hast; sind es alle drei, zum Vortest und zu Kapitel 1.

Aufgabe → Kapitel: G1, G3 → 1; G2 → 2; G4 bis G6 → 3; G7 bis G9 → 4

Vertiefung — zum Knobeln

Freiwillig, ohne Punkte. Für alle, die nach dem Gesamttest weiterdenken möchten.

  1. V1Zeige: \(\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x + 1} = \dfrac{1}{x(x + 1)}\). Berechne damit \(\dfrac{1}{1 \cdot 2} + \dfrac{1}{2 \cdot 3} + \dots + \dfrac{1}{9 \cdot 10}\).
    Lösung

    \(\dfrac{(x + 1) - x}{x(x + 1)} = \dfrac{1}{x(x + 1)}\). Jeder Summand ist eine Differenz: \(\left(1 - \tfrac{1}{2}\right) + \left(\tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{3}\right) + \dots + \left(\tfrac{1}{9} - \tfrac{1}{10}\right) = 1 - \tfrac{1}{10} = \tfrac{9}{10}\).

  2. V2Für welche Zahl \(a\) hat \(ax + 3 = 2x + 7\) keine Lösung? Was passiert für alle anderen \(a\)?
    Lösung

    \((a - 2)x = 4\). Für \(a = 2\) steht \(0 = 4\): keine Lösung. Sonst gibt es genau eine: \(x = \dfrac{4}{a - 2}\).

  3. V3Der Durchschnitt dreier Noten ist \(m = \dfrac{a + b + c}{3}\). Stelle nach \(c\) um. Welche dritte Note braucht es nach \(4.5\) und \(5\) für den Schnitt \(5\)?
    Lösung

    \(c = 3m - a - b = 15 - 4.5 - 5 = 5.5\).

Weiter: Gleichungen mit Parametern und Ungleichungen stehen bei Mathe begreifbar unter Lineare Gleichungen ↗ und Drei Lösungsfälle ↗.

Leitprogramm Bruchterme, Gleichungen und Formeln · Sek1-Mathe begreifbar Raphael Arnold Kohler