Sek1-Mathe begreifbar · Leitprogramm

Bruchrechnen

Zuschauen, tüfteln, kontrollieren, üben. Vier Kapitel zu je einer Lektion, dazu Vorwissen und Gesamttest.

Arithmetik/Algebra

So arbeitest du
  1. ① Clip anschauen. Er hält einmal an und fragt nach deiner Vorhersage.
  2. ② Tüfteln: Löse die Aufgaben in der orangen Leiste über dem Bild. Sie zeigt ✓, sobald es stimmt. Überspringen geht immer.
  3. ③ Kontrollfragen: Der Clip hält an. Erst antworten. Danach Festhalten: Regel und häufigen Fehler ins Heft.
  4. ④ Üben mit Rückmeldung, bis drei in Folge sitzen. Mit 💡 Tipp bekommst du Hilfe in drei Stufen.
  5. ⑤ Aufgaben auf Papier mit Rechenweg, dann Lösung aufklappen und abhaken.
  6. Zum Schluss der Gesamttest auf Papier. Alles ohne Taschenrechner.

Kompetenzen

Das kannst du danach — alles ohne Taschenrechner:

  • K1 Brüche erweitern, vollständig kürzen und der Grösse nach vergleichen — Kapitel 1
  • K2 Brüche addieren und subtrahieren, mit dem Hauptnenner — Kapitel 2
  • K3 Brüche multiplizieren und dividieren, mit dem Kehrwert und Kürzen vor dem Ausrechnen — Kapitel 3
  • K4 Terme mit Brüchen und negativen Zahlen in der richtigen Reihenfolge berechnen, jeden Schritt begründen und Fehler in fremden Lösungen finden — Kapitel 4

Nicht in diesem Leitprogramm: Brüche und Dezimalzahlen umwandeln, periodische Dezimalzahlen, Doppelbrüche — zum Vertiefen bei Mathe begreifbar: Zahlen und Grundoperationen ↗.

Kapitel 0Vorwissen≈ 10 min

Vorwissen

Teiler und Vielfache, Rechnen mit negativen Zahlen, Punkt vor Strich, Potenzen. Zuerst kurz wiederholen, dann der Vortest.

Kurz wiederholt
  • ggT (grösster gemeinsamer Teiler): die grösste Zahl, durch die beide teilbar sind, zum Beispiel \(\text{ggT}(12;\ 18) = 6\). Braucht es zum Kürzen.
  • kgV (kleinstes gemeinsames Vielfaches): die kleinste Zahl, die durch beide teilbar ist, zum Beispiel \(\text{kgV}(4;\ 6) = 12\). Braucht es zum Addieren.
  • Vorzeichen: Plus mal Plus und Minus mal Minus gibt Plus, verschiedene Vorzeichen geben Minus; gleich beim Dividieren. Minus einer negativen Zahl ist plus: \(5 - (-2) = 7\).
  • Reihenfolge: Klammern, Potenzen, Punkt vor Strich, sonst von links nach rechts.
  • Potenz: \(2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2\). Bei \(-3^2\) gehört das Quadrat nur zur \(3\): \(-9\).

Vortest · 10 P

  1. 0a(2 P)Bestimme den grössten gemeinsamen Teiler von \(16\) und \(40\) und das kleinste gemeinsame Vielfache von \(6\) und \(10\).
    Lösung

    \(\text{ggT}(16;\ 40) = 8\); \(\text{kgV}(6;\ 10) = 30\).

    ggT braucht Kapitel 1 (Kürzen), kgV Kapitel 2 (Hauptnenner).

  2. 0b(2 P)Berechne: \((-2) \cdot 3\); \(\;(-12) : (-4)\); \(\;-5 + 8\); \(\;3 - 7\); \(\;3 - (-7)\)
    Lösung

    \(-6\); \(3\); \(3\); \(-4\); \(10\).

    Dieselben Vorzeichenregeln gelten in Kapitel 4 für Brüche.

  3. 0c(2 P)Berechne: \(12 : 3 \cdot 2\) und \(2 + 3 \cdot 4\)
    Lösung

    \(12 : 3 \cdot 2 = 4 \cdot 2 = 8\) (von links nach rechts); \(2 + 3 \cdot 4 = 2 + 12 = 14\) (Punkt vor Strich).

  4. 0d(2 P)Welcher Anteil des Streifens ist gefärbt, welcher nicht?
    Lösung

    Gefärbt \(\tfrac{3}{8}\), nicht gefärbt \(\tfrac{5}{8}\) — zusammen \(\tfrac{8}{8} = 1\), das Ganze.

  5. 0e(2 P)Berechne: \(2^3\); \(\;(-3)^2\); \(\;-3^2\)
    Lösung

    \(8\); \(9\); \(-9\).

    Bei \(-3^2\) gehört das Quadrat nur zur \(3\) — Potenz vor Strich.

Weniger als 7 von 10 Punkten: «Kurz wiederholt» nochmals lesen, die Lösungen des Vortests Schritt für Schritt nachrechnen, dann Kapitel 1.

Kapitel 1K1≈ 40 min

Erweitern, Kürzen, Vergleichen

Du erweiterst und kürzt Brüche, kürzt vollständig mit dem grössten gemeinsamen Teiler und vergleichst Brüche, indem du sie auf denselben Nenner bringst.

① Clip

② Tüfteln

③ Kontrollfragen

Festhalten

Erweitern, Kürzen, Vergleichen

Erweitern: Zähler und Nenner mit derselben Zahl multiplizieren. Jedes Stück wird in gleich viele kleinere Stücke zerlegt — der Anteil bleibt gleich: \(\tfrac{3}{4} = \tfrac{3 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \tfrac{15}{20}\).

Kürzen: Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl dividieren. Ein Bruch ist vollständig gekürzt, wenn Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Teiler ausser \(1\) mehr haben. Am schnellsten geht es mit dem grössten gemeinsamen Teiler:

\[ \frac{12}{18} = \frac{12 : 6}{18 : 6} = \frac{2}{3} \qquad \text{denn } \text{ggT}(12;\ 18) = 6 \]

Vergleichen: Brüche auf denselben Nenner bringen, dann zeigt der Zähler, welcher grösser ist: \(\tfrac{2}{3} = \tfrac{8}{12}\) und \(\tfrac{3}{4} = \tfrac{9}{12}\), also \(\tfrac{2}{3} \lt \tfrac{3}{4}\).

Ganze Zahlen sind auch Brüche: \(2 = \tfrac{2}{1} = \tfrac{6}{3}\). Ein Ergebnis wie \(\tfrac{7}{3}\) bleibt in diesem Leitprogramm ein Bruch — die gemischte Schreibweise liest man leicht als Produkt.

Häufiger Fehler

Kürzen nur bei Faktoren, nie bei Summanden. \(\tfrac{2 + 3}{2 + 5}\) ist \(\tfrac{5}{7}\), nicht \(\tfrac{3}{5}\). Zuerst ausrechnen, dann kürzen.

Erweitern heisst multiplizieren, nicht addieren: \(\tfrac{3 + 1}{4 + 1} = \tfrac{4}{5}\) ist ein anderer Anteil als \(\tfrac{3}{4}\).

Nur teilweise gekürzt: \(\tfrac{12}{18} = \tfrac{6}{9}\) stimmt, ist aber noch nicht fertig: \(6\) und \(9\) sind beide durch \(3\) teilbar.

④ Üben mit Rückmeldung

🔁 Erweitern0 in Folge

🔁 Vollständig kürzen0 in Folge

⑤ Aufgaben mit Lösungen

Aufgaben · Kapitel 1 · 13 P

  1. 1a(2 P)Erweitere \(\tfrac{5}{6}\) auf den Nenner \(24\). Kürze \(\tfrac{45}{60}\) vollständig.
    Lösung

    \(\tfrac{5}{6} = \tfrac{5 \cdot 4}{6 \cdot 4} = \tfrac{20}{24}\). \(\text{ggT}(45;\ 60) = 15\): \(\tfrac{45}{60} = \tfrac{3}{4}\).

  2. 1b(2 P)Welche Brüche sind gleich gross wie \(\tfrac{2}{5}\)? \(\;\tfrac{4}{10}\), \(\tfrac{6}{15}\), \(\tfrac{7}{10}\), \(\tfrac{10}{25}\), \(\tfrac{3}{6}\)
    Lösung

    \(\tfrac{4}{10}\), \(\tfrac{6}{15}\) und \(\tfrac{10}{25}\) — sie lassen sich alle auf \(\tfrac{2}{5}\) kürzen. \(\tfrac{7}{10}\) und \(\tfrac{3}{6} = \tfrac{1}{2}\) nicht.

  3. 1c(3 P)Ordne der Grösse nach, beginne mit dem kleinsten: \(\;\tfrac{5}{6}\), \(\tfrac{4}{5}\), \(\tfrac{7}{10}\)
    Lösung

    Gemeinsamer Nenner \(30\): \(\tfrac{5}{6} = \tfrac{25}{30}\), \(\tfrac{4}{5} = \tfrac{24}{30}\), \(\tfrac{7}{10} = \tfrac{21}{30}\). Also \(\tfrac{7}{10} \lt \tfrac{4}{5} \lt \tfrac{5}{6}\).

  4. 1d(2 P)Lea kürzt so: «\(\tfrac{6 + 4}{6 + 9}\) — die \(6\) streiche ich oben und unten, also \(\tfrac{4}{9}\).» Was ist falsch? Rechne richtig.
    Lösung

    Lea kürzt Summanden. Kürzen darf man nur Faktoren. Richtig: \(\tfrac{6 + 4}{6 + 9} = \tfrac{10}{15} = \tfrac{2}{3}\) — und \(\tfrac{4}{9}\) ist kleiner als \(\tfrac{2}{3}\).

  5. 1e(2 P)Warum ändert sich der Wert eines Bruchs beim Erweitern nicht? Erkläre mit dem Bruchstreifen.
    Lösung

    Beim Erweitern mit \(5\) wird jedes Stück in \(5\) gleiche kleinere Stücke zerlegt. Es gibt fünfmal so viele Stücke, und fünfmal so viele davon sind gefärbt — die gefärbte Fläche bleibt dieselbe.

  6. 1f(2 P)Welcher Anteil ist gefärbt? Gib ihn vollständig gekürzt an. Wie viele Teile wären gefärbt, wenn derselbe Streifen in \(16\) Teile geteilt wäre?
    Lösung

    \(6\) von \(8\) Teilen: \(\tfrac{6}{8} = \tfrac{3}{4}\). Bei \(16\) Teilen: \(\tfrac{3}{4} = \tfrac{12}{16}\), also \(12\) Teile.

Vertiefung bei Mathe begreifbar (Berufsmaturität): Zahlen und Grundoperationen ↗

Kapitel 2K2≈ 45 min

Addieren und Subtrahieren

Du addierst und subtrahierst Brüche, indem du sie mit dem Hauptnenner gleichnamig machst, und gibst das Ergebnis vollständig gekürzt an.

① Clip

② Tüfteln

③ Kontrollfragen

Festhalten

Addieren und Subtrahieren

Gleichnamige Brüche (gleicher Nenner): Zähler addieren oder subtrahieren, der Nenner bleibt. Man zählt gleich grosse Stücke: \(\tfrac{3}{8} + \tfrac{1}{8} = \tfrac{4}{8} = \tfrac{1}{2}\).

Ungleichnamige Brüche zuerst gleichnamig machen. Der kleinste gemeinsame Nenner heisst Hauptnenner; er ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner. Das Produkt der Nenner geht immer, ist aber oft unnötig gross.

  1. \(\text{kgV}(12;\ 18) = 36\) Vielfache von 18: 18, 36 — und 36 ist durch 12 teilbar
  2. \(\dfrac{5}{12} + \dfrac{7}{18} = \dfrac{15}{36} + \dfrac{14}{36}\) erweitern mit 3 und mit 2
  3. \(= \dfrac{29}{36}\) Zähler addieren; 29 und 36 haben keinen gemeinsamen Teiler

Mit einer ganzen Zahl: \(2 - \tfrac{3}{4} = \tfrac{8}{4} - \tfrac{3}{4} = \tfrac{5}{4}\). Bei drei oder mehr Brüchen braucht es einen Nenner, in dem alle aufgehen.

Häufiger Fehler

Nenner addieren: \(\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{3}\) ist nicht \(\tfrac{2}{5}\). Die Kontrolle zeigt es sofort: \(\tfrac{2}{5}\) ist kleiner als \(\tfrac{1}{2}\) — eine Summe kann nicht kleiner sein als einer ihrer positiven Summanden. Richtig: \(\tfrac{3}{6} + \tfrac{2}{6} = \tfrac{5}{6}\).

Am Schluss nicht kürzen: \(\tfrac{1}{6} + \tfrac{1}{3} = \tfrac{1}{6} + \tfrac{2}{6} = \tfrac{3}{6}\) ist erst fertig als \(\tfrac{1}{2}\).

④ Üben mit Rückmeldung

🔁 Hauptnenner finden0 in Folge

🔁 Addieren und Subtrahieren0 in Folge

⑤ Aufgaben mit Lösungen

Aufgaben · Kapitel 2 · 15 P

  1. 2a(3 P)Berechne und kürze: \(\tfrac{5}{12} + \tfrac{1}{12}\); \(\;\tfrac{9}{10} - \tfrac{3}{10}\); \(\;3 - \tfrac{5}{7}\)
    Lösung

    \(\tfrac{6}{12} = \tfrac{1}{2}\); \(\tfrac{6}{10} = \tfrac{3}{5}\); \(3 = \tfrac{21}{7}\), also \(\tfrac{21}{7} - \tfrac{5}{7} = \tfrac{16}{7}\).

  2. 2b(3 P)Berechne: \(\tfrac{3}{4} + \tfrac{5}{6}\)
    Lösung

    Hauptnenner \(12\): \(\tfrac{9}{12} + \tfrac{10}{12} = \tfrac{19}{12}\). Vollständig gekürzt, denn \(19\) ist eine Primzahl.

  3. 2c(3 P)Berechne: \(\tfrac{11}{12} - \tfrac{4}{9}\)
    Lösung

    \(\text{kgV}(12;\ 9) = 36\): \(\tfrac{33}{36} - \tfrac{16}{36} = \tfrac{17}{36}\).

    Mit dem Produkt \(108\) als Nenner geht es auch, aber dann muss am Schluss gekürzt werden: \(\tfrac{51}{108} = \tfrac{17}{36}\).

  4. 2d(2 P)Tim rechnet \(\tfrac{2}{3} + \tfrac{1}{4} = \tfrac{3}{7}\). Zeige ohne Rechnung, dass das nicht stimmen kann. Rechne dann richtig.
    Lösung

    \(\tfrac{3}{7}\) ist kleiner als \(\tfrac{1}{2}\), also auch kleiner als \(\tfrac{2}{3}\) allein — die Summe zweier positiver Brüche muss aber grösser sein als \(\tfrac{2}{3}\). Richtig: \(\tfrac{8}{12} + \tfrac{3}{12} = \tfrac{11}{12}\).

  5. 2e(2 P)Die Streifen zeigen \(\tfrac{1}{3}\) und \(\tfrac{1}{5}\). Warum darf man bei \(\tfrac{2}{15} + \tfrac{4}{15}\) die Zähler direkt addieren, bei \(\tfrac{1}{3} + \tfrac{1}{5}\) aber nicht?
    Lösung

    Fünfzehntel sind gleich grosse Stücke — man zählt einfach, wie viele es sind. Drittel und Fünftel sind verschieden gross; erst wenn beide in Fünfzehntel zerlegt sind (\(\tfrac{5}{15}\) und \(\tfrac{3}{15}\)), darf man zählen: \(\tfrac{8}{15}\).

  6. 2f(2 P)Drei Brüche: \(\tfrac{1}{2} + \tfrac{2}{3} - \tfrac{3}{4}\)
    Lösung

    Hauptnenner \(\text{kgV}(2;\ 3;\ 4) = 12\): \(\tfrac{6}{12} + \tfrac{8}{12} - \tfrac{9}{12} = \tfrac{5}{12}\).

    Bei drei Brüchen geht es gleich: ein Nenner, in dem alle drei aufgehen.

Vertiefung bei Mathe begreifbar (Berufsmaturität): Zahlen und Grundoperationen ↗ · Bruchterme ↗

Kapitel 3K3≈ 45 min

Multiplizieren und Dividieren

Du multiplizierst Brüche, dividierst mit dem Kehrwert, kürzt vor dem Ausrechnen und erklärst beides am Bild.

① Clip

② Tüfteln

③ Kontrollfragen

Festhalten

Multiplizieren und Dividieren

Multiplizieren: Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner. Im Flächenmodell ist das Produkt das grüne Rechteck: \(\tfrac{2}{3} \cdot \tfrac{3}{4} = \tfrac{6}{12} = \tfrac{1}{2}\).

Vor dem Ausrechnen kürzen spart Arbeit — auch über Kreuz, also Zähler des einen mit Nenner des anderen Bruchs:

\[ \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{8} = \frac{\cancel{4}^{\,1} \cdot \cancel{3}^{\,1}}{\cancel{9}_{\,3} \cdot \cancel{8}_{\,2}} = \frac{1}{6} \]

Ganze Zahl mal Bruch: Nur der Zähler wird multipliziert, \(3 \cdot \tfrac{2}{5} = \tfrac{6}{5}\). «\(\tfrac{2}{3}\) von \(12\)» heisst \(\tfrac{2}{3} \cdot 12 = 8\).

Dividieren: Mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs multiplizieren (Zähler und Nenner vertauscht):

\[ \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} \qquad (b,\ c,\ d \neq 0) \]

Auch eine ganze Zahl hat einen Kehrwert: \(2 = \tfrac{2}{1}\), Kehrwert \(\tfrac{1}{2}\). Also \(\tfrac{4}{5} : 2 = \tfrac{4}{5} \cdot \tfrac{1}{2} = \tfrac{2}{5}\).

Warum: \(\tfrac{3}{4} : \tfrac{1}{8}\) fragt «Wie oft passt \(\tfrac{1}{8}\) in \(\tfrac{3}{4}\)?» — sechsmal, denn \(\tfrac{3}{4} = \tfrac{6}{8}\). Und \(\tfrac{3}{4} \cdot 8 = 6\): Teilen durch \(\tfrac{1}{8}\) ist dasselbe wie mal \(8\).

Häufiger Fehler

Kehrwert vom falschen Bruch: Bei \(\tfrac{3}{4} : \tfrac{1}{8}\) wird \(\tfrac{1}{8}\) umgedreht. Wer \(\tfrac{4}{3} \cdot \tfrac{1}{8} = \tfrac{1}{6}\) rechnet, hat den ersten umgedreht.

Über Kreuz kürzen nur beim Multiplizieren. Bei \(\tfrac{4}{9} + \tfrac{3}{8}\) darf man nicht über Kreuz kürzen — dort braucht es den Hauptnenner.

Beim Multiplizieren braucht es keinen gemeinsamen Nenner — gleichnamig machen ist nur beim Addieren und Subtrahieren nötig.

④ Üben mit Rückmeldung

🔁 Multiplizieren0 in Folge

🔁 Dividieren0 in Folge

⑤ Aufgaben mit Lösungen

Aufgaben · Kapitel 3 · 16 P

  1. 3a(4 P)Berechne und kürze vollständig: \(\tfrac{5}{6} \cdot \tfrac{3}{10}\) und \(\tfrac{3}{5} : \tfrac{9}{10}\)
    Lösung

    Über Kreuz: \(5\) und \(10\) durch \(5\), \(3\) und \(6\) durch \(3\): \(\tfrac{1 \cdot 1}{2 \cdot 2} = \tfrac{1}{4}\). Und \(\tfrac{3}{5} \cdot \tfrac{10}{9} = \tfrac{30}{45} = \tfrac{2}{3}\).

  2. 3b(4 P)Ganze Zahlen und Brüche: \(4 \cdot \tfrac{5}{6}\); \(\;\tfrac{2}{3}\) von \(15\); \(\;\tfrac{7}{8} : 7\); \(\;6 : \tfrac{3}{4}\)
    Lösung

    \(\tfrac{20}{6} = \tfrac{10}{3}\); \(\tfrac{2}{3} \cdot 15 = \tfrac{30}{3} = 10\); \(\tfrac{7}{8} \cdot \tfrac{1}{7} = \tfrac{1}{8}\); \(6 \cdot \tfrac{4}{3} = 8\).

    Kontrolle zur letzten: \(\tfrac{3}{4}\) passt achtmal in \(6\), denn \(8 \cdot \tfrac{3}{4} = 6\).

  3. 3c(2 P)Nora rechnet \(\tfrac{2}{5} : \tfrac{4}{7} = \tfrac{5}{2} \cdot \tfrac{4}{7} = \tfrac{20}{14} = \tfrac{10}{7}\). Finde den Fehler und rechne richtig.
    Lösung

    Nora hat den Kehrwert vom ersten Bruch genommen. Umgedreht wird der zweite: \(\tfrac{2}{5} \cdot \tfrac{7}{4} = \tfrac{14}{20} = \tfrac{7}{10}\).

    Ihr Ergebnis \(\tfrac{10}{7}\) ist genau der Kehrwert des richtigen — ein typisches Zeichen für diesen Fehler.

  4. 3d(2 P)Warum ist \(\tfrac{5}{6} \cdot \tfrac{3}{5}\) kleiner als \(\tfrac{5}{6}\), aber \(\tfrac{5}{6} : \tfrac{3}{5}\) grösser als \(\tfrac{5}{6}\)?
    Lösung

    Mal \(\tfrac{3}{5}\) heisst: \(\tfrac{3}{5}\) von \(\tfrac{5}{6}\) nehmen — das ist nur ein Teil davon: \(\tfrac{1}{2}\). Durch \(\tfrac{3}{5}\) fragt, wie oft \(\tfrac{3}{5}\) in \(\tfrac{5}{6}\) passt; das Stück ist kleiner, also passt es mehr als einmal: \(\tfrac{25}{18}\).

  5. 3e(2 P)Welche Multiplikation zeigt das Flächenmodell? Lies das Ergebnis ab und kürze.
    Lösung

    Blau sind \(\tfrac{3}{4}\) der Breite, orange \(\tfrac{2}{5}\) der Höhe: \(\tfrac{3}{4} \cdot \tfrac{2}{5}\). Grün sind \(6\) von \(20\) Kästchen: \(\tfrac{6}{20} = \tfrac{3}{10}\).

  6. 3f(2 P)Lena hat \(\tfrac{5}{4}\) kg Mehl. Ein Rezept braucht \(\tfrac{3}{8}\) kg. (a) Für wie viele ganze Rezepte reicht das Mehl? Zeichne dazu einen Streifen in Achteln. (b) Wie viel Mehl sind \(\tfrac{2}{5}\) ihres Vorrats?
    Lösung

    (a) Wie oft passt \(\tfrac{3}{8}\) in \(\tfrac{5}{4}\)? \(\tfrac{5}{4} : \tfrac{3}{8} = \tfrac{5}{4} \cdot \tfrac{8}{3} = \tfrac{10}{3}\) — dreimal ganz (es bleiben \(\tfrac{1}{8}\) kg). Im Streifen: \(\tfrac{5}{4} = \tfrac{10}{8}\), also zehn Achtel; je drei Achtel sind ein Rezept — drei Gruppen, ein Achtel bleibt. (b) «von» heisst mal: \(\tfrac{2}{5} \cdot \tfrac{5}{4} = \tfrac{1}{2}\) kg.

Vertiefung bei Mathe begreifbar (Berufsmaturität): Zahlen und Grundoperationen ↗ · Bruchterme ↗

Kapitel 4K4≈ 45 min

Rechenreihenfolge und negative Brüche

Du berechnest Terme mit Brüchen und negativen Zahlen in der richtigen Reihenfolge — Klammern, Potenzen, Punkt vor Strich, von links nach rechts —, schreibst jeden Schritt auf und gibst das Ergebnis vollständig gekürzt an.

① Clip

② Tüfteln

③ Kontrollfragen

Festhalten

Rechenreihenfolge und Vorzeichen
  1. Klammern zuerst, innere vor äusseren.
  2. Potenzen.
  3. Punkt vor Strich: \(\cdot\) und \(:\) vor \(+\) und \(-\).
  4. Gleichrangiges von links nach rechts.

Eine Rechnung, eine Kette — jeder Schritt eine Zeile:

\[ \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{3}{4} - \frac{1}{4}\right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{3}{6} - \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]

Negative Brüche

Das Minus darf vor dem Bruch, im Zähler oder im Nenner stehen: \(-\tfrac{2}{3} = \tfrac{-2}{3} = \tfrac{2}{-3}\). Gerechnet wird mit den Vorzeichenregeln aus ℤ: \(\left(-\tfrac{3}{4}\right) \cdot \left(-\tfrac{2}{9}\right) = +\tfrac{6}{36} = \tfrac{1}{6}\).

Minus einer negativen Zahl heisst plus: \(\tfrac{1}{2} - \left(-\tfrac{1}{4}\right) = \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{4} = \tfrac{3}{4}\).

Potenzen von Brüchen

Zähler und Nenner werden potenziert: \(\left(\tfrac{2}{3}\right)^2 = \tfrac{4}{9}\). Auf die Klammer kommt es an: \(\left(-\tfrac{1}{2}\right)^2 = \tfrac{1}{4}\), aber \(-\left(\tfrac{1}{2}\right)^2 = -\tfrac{1}{4}\).

Häufiger Fehler

Minus vor der Klammer: \(\tfrac{3}{4} - \left(\tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{4}\right) = \tfrac{3}{4} - \tfrac{1}{4} = \tfrac{1}{2}\). Wer die Klammer einfach weglässt, rechnet \(\tfrac{3}{4} - \tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{4} = 0\) — falsch. Ohne Klammer: \(\tfrac{3}{4} - \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{4}\).

Von links nach rechts gilt auch für \(:\) und \(\cdot\): \(1 : \tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{1}{2} = 2 \cdot \tfrac{1}{2} = 1\), nicht \(1 : \tfrac{1}{4} = 4\).

Ergebnis nicht gekürzt — auch im Zwischenschritt lohnt sich das Kürzen, die Zahlen bleiben kleiner.

④ Üben mit Rückmeldung

🔁 Was kommt zuerst?0 in Folge

🔁 Negative Brüche0 in Folge

⑤ Aufgaben mit Lösungen

Aufgaben · Kapitel 4 · 16 P

  1. 4a(3 P)Berechne: \(\tfrac{7}{12} - \tfrac{1}{4} \cdot \tfrac{2}{3}\)
    Lösung

    Punkt vor Strich: \(\tfrac{1}{4} \cdot \tfrac{2}{3} = \tfrac{2}{12} = \tfrac{1}{6}\). Dann \(\tfrac{7}{12} - \tfrac{2}{12} = \tfrac{5}{12}\).

  2. 4b(3 P)Berechne: \(\left(\tfrac{3}{4} - \tfrac{1}{3}\right) : \tfrac{5}{6}\)
    Lösung

    Klammer: \(\tfrac{9}{12} - \tfrac{4}{12} = \tfrac{5}{12}\). Dann \(\tfrac{5}{12} \cdot \tfrac{6}{5} = \tfrac{30}{60} = \tfrac{1}{2}\).

  3. 4c(3 P)Berechne: \(-\tfrac{2}{5} + \tfrac{3}{10} \cdot \left(-\tfrac{4}{3}\right)\)
    Lösung

    Punkt vor Strich: \(\tfrac{3}{10} \cdot \left(-\tfrac{4}{3}\right) = -\tfrac{12}{30} = -\tfrac{2}{5}\). Dann \(-\tfrac{2}{5} + \left(-\tfrac{2}{5}\right) = -\tfrac{4}{5}\).

  4. 4d(2 P)Berechne beide und vergleiche: \(\left(-\tfrac{3}{2}\right)^2 - \tfrac{3}{4}\) und \(-\left(\tfrac{3}{2}\right)^2 + \tfrac{3}{4}\)
    Lösung

    \(\tfrac{9}{4} - \tfrac{3}{4} = \tfrac{6}{4} = \tfrac{3}{2}\) und \(-\tfrac{9}{4} + \tfrac{3}{4} = -\tfrac{6}{4} = -\tfrac{3}{2}\). Die beiden Ergebnisse sind Gegenzahlen.

  5. 4e(3 P)Mia rechnet: \(\tfrac{3}{4} : \tfrac{3}{8} \cdot \tfrac{1}{2} = \tfrac{3}{4} : \tfrac{3}{16} = 4\). Welche Regel hat sie verletzt? Rechne richtig.
    Lösung

    \(:\) und \(\cdot\) sind gleichrangig — von links nach rechts. Mia hat zuerst multipliziert. Richtig: \(\tfrac{3}{4} : \tfrac{3}{8} = \tfrac{3}{4} \cdot \tfrac{8}{3} = 2\), dann \(2 \cdot \tfrac{1}{2} = 1\).

  6. 4f(2 P)Warum ist \(\left(-\tfrac{2}{3}\right) \cdot \left(-\tfrac{3}{4}\right)\) positiv, \(-\tfrac{2}{3} + \left(-\tfrac{3}{4}\right)\) aber negativ?
    Lösung

    Beim Multiplizieren gilt: Minus mal Minus gibt Plus, also \(+\tfrac{6}{12} = \tfrac{1}{2}\). Beim Addieren kommt zu einer negativen Zahl noch eine negative dazu — man geht zweimal in die Minusrichtung: \(-\tfrac{8}{12} - \tfrac{9}{12} = -\tfrac{17}{12}\).

Vertiefung bei Mathe begreifbar (Berufsmaturität): Hierarchie der Operationen ↗ · Strukturbaum ↗

AbschlussKapitel 1–4≈ 30 min · 25 Punkte

Gesamttest

1
Lösen — auf Papier, mit Rechenweg, ohne Taschenrechner.
⬇ Gesamttest (PDF)
2
Bewerten — selbst mit dem Punkteraster oder mit einer KI: Lösung scannen oder fotografieren (ohne Namen und Standort). Das Paket enthält die Musterlösung: erst danach öffnen.
⬇ Bewertungspaket (PDF)
3
Gezielt wiederholen — nach der Tabelle unten.
Selbsteinschätzung
22 – 25 PDie geprüften Teile sitzen. Wo du Punkte verloren hast: das Kapitel dieser Aufgabe nochmals (Zuordnung unten).
17 – 21 PDen schwächsten Teil nochmals — gemessen am Anteil (Teil A 7, B 6, C 12 P): Tüfteln und Übungen der Kapitel dieses Teils.
11 – 16 PZurück zu den Kapiteln aller Aufgaben, in denen du Punkte verloren hast.
0 – 10 PZurück zu den Kapiteln jedes Teils, in dem du weniger als die Hälfte erreicht hast; sind es alle drei, zum Vortest und zu Kapitel 1.

Aufgabe → Kapitel: G1 → 1; G2 → 2; G3 → 1 und 2; G4, G5 → 3; G6 bis G9 → 4

Vertiefung — zum Knobeln

Freiwillig, ohne Punkte. Für alle, die nach dem Gesamttest weiterdenken möchten.

  1. V1Berechne \(\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{8} + \tfrac{1}{16}\). Wie viel fehlt bis \(1\)? Was fehlt, wenn du so immer weiter addierst?
    Lösung

    \(\tfrac{8}{16} + \tfrac{4}{16} + \tfrac{2}{16} + \tfrac{1}{16} = \tfrac{15}{16}\); es fehlt \(\tfrac{1}{16}\) — genau der letzte Summand. Mit jedem weiteren Summanden halbiert sich der Rest; er wird beliebig klein, aber nie null.

  2. V2Finde zwei verschiedene Stammbrüche (Zähler \(1\)), deren Summe \(\tfrac{1}{2}\) ist. Gibt es mehr als eine Möglichkeit?
    Lösung

    \(\tfrac{1}{3} + \tfrac{1}{6} = \tfrac{2}{6} + \tfrac{1}{6} = \tfrac{1}{2}\). Das ist die einzige Möglichkeit: Der grössere Stammbruch muss grösser als \(\tfrac{1}{4}\) und kleiner als \(\tfrac{1}{2}\) sein — es bleibt nur \(\tfrac{1}{3}\). (\(\tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{4}\) sind nicht verschieden.)

  3. V3Welcher Bruch ist grösser: \(\tfrac{2025}{2026}\) oder \(\tfrac{2026}{2027}\)? Begründe ohne den gemeinsamen Nenner auszurechnen.
    Lösung

    \(\tfrac{2025}{2026} = 1 - \tfrac{1}{2026}\) und \(\tfrac{2026}{2027} = 1 - \tfrac{1}{2027}\). Weil \(\tfrac{1}{2027}\) kleiner ist als \(\tfrac{1}{2026}\), fehlt dem zweiten Bruch weniger bis \(1\): \(\tfrac{2026}{2027}\) ist grösser.

Weiter: Was hier bewusst fehlt — Brüche und Dezimalzahlen umwandeln, periodische Dezimalzahlen — steht bei Mathe begreifbar unter Zahlen und Grundoperationen ↗. Brüche mit Variablen: Bruchterme ↗.

Leitprogramm Bruchrechnen · Sek1-Mathe begreifbar Raphael Arnold Kohler